151 - ニヒケー元コテ ◆AbDmhTCTZY 2021/10/01(金) 01:15:38.99 ID:ZeA8Q5YM0
パップスギュルダンの定理について一部補足でふ
パップスギュルダンの定理はバウムクーヘン分割を知っていればスムーズに証明できまふ
まずはバームクーヘン分割についてでふ
バームクーヘン分割の公式は、『区間a≦x≦bにおいてf(x)≧0であるとき、曲線y＝f(x),x軸,直線x＝a,x＝bで囲まれた部分をy軸周りに1回転させてできる図形の体積VはV＝2π∫[a,b]xf(x)dxとなる』というものでふ
区間x≦t≦x+Δx(Δx＞0)において曲線y＝f(x)とx軸で挟まれた部分をy軸まわりに1回転させてできる回転体の体積をΔVとする
区間x≦t≦x+Δxにおいて最大値をM、最小値をmとおくと、
π{(x+Δx)^2ーx^2}×m≦ΔV≦π{(x+Δx)^2ーx^2}×M
π{2xΔx+(Δx)^2}m≦ΔV≦π{2xΔx+(Δx)^2}M
π{2x+Δx}m≦ΔV/Δx≦π{2x+Δx}Mとなりまふ
ここでΔx→0とすると、m,M→f(x)となるので、
lim[Δx→0](ΔV/Δx)＝2πf(x)
Δx＜0の際も同様の結果が得られる
これをa≦x≦bまで集めたものがVであるので、
V＝∫[a,b]2πf(x)dx＝2π∫[a,b]f(x)dx
以上よりバームクーヘン分割の公式は示された