109 - ニヒケー元コテ ◆AbDmhTCTZY 2021/09/04(土) 03:42:37.12 ID:jr3Kyuki0
京大の問題でふね
tan1°が有理数であると仮定する
加法定理tan(α+β)＝(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)より、
tan(1°+1°)＝(tan1°+tan1°)/(1-tan1°×tan1°)＝2tan1°/1-(tan1°)^2
よってtan1°のとき、tan2°も有利数となる
同様にtan2°が有理数のとき、tan4°,tan8°,tan16°,tan32°も有理数となる
また、加法定理tan(α-β)＝(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)より、
tan(32°-2°)＝(tan32°-tan2°)/(1+tan32°tan2°)
tan30°＝(tan32°-tan2°)/(1+tan32°tan2°)
tan2°とtan32°は有理数だから、tan30°も有利数である
しかしtan30°＝1/√3より、tan30°は有理数であることに矛盾する
以上より、tan1°は無理数となりまふ